LEY DE BOOLE Y TEOREMA DE MORGAN

 Leyes de Boole

Definición: Partimos de los números binarios, los cuales utilizaremos como posiciones de activación o desactivación “1 y 0”, haciendo uso de estos estados se implementarán las leyes booleanas, las cuales permiten el cambio de posición para la suma y la multiplicación a través de compuertas lógicas.

Las operaciones booleanas 'leyes' son equivalentes a implementar compuertas lógicas en circuitos con señales lógicas, cero o uno '0 o 1', con el objetivo de realizar sistemas funcionales y automáticos en ocasiones, con simples montajes.

Los símbolos binarios podemos asignárselo a variables, las cuales nos permiten realizar cálculos con las propiedades de las leyes booleanas que veremos a continuación.

Cualquier circuito que haga uso de las leyes de boole puede ser simplificado, con el objetivo de obtener una o varias salidas en un circuito de la forma mas eficiente, en tanto al uso de recursos como de cálculos, simplificando todo a datos de salida, que dependen simplemente de las señales de entrada.

  Video: 

   

Características. 

• La ley asociativa permite la eliminación de corchetes para la adición y la multiplicación. 
  
  
• La ley de distribución que permite la factorización de una expresión, como en el algebra ordinaria. Se requiere de una variable para poderlas aplicar. 
  
  
• Pueden ser infinitas variables de estrada para un sistema. 
  
  
• Tiene un uso mayormente en la simplificación de circuitos digitales complejos.

 

Teoremas:

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

Ley de idempotencia:   A + A = A   |   A · A = A

Ley de involución: (A')' = A

Ley conmutativa:   A + B = B + A   |   A · B = B · A

Ley asociativa:   A + (B + C) = (A + B) + C   |   A · (B · C) = (A · B) · C

Ley distributiva:   A + B · C = (A + B) · (A + C)   |   A · (B + C) = A · B + A · C

Ley de absorción:   A + A · B = A   |   A · (A + B) = A

Ejemplo:

1. Para las siguientes expresiones halle la respuesta.

A= 1, B=0, C=0, D=1

·         X = A + (B + D) + (A + B) + C

Se reemplazan los valores conocidos y se halla en valor de X

X = 1 + (0 + 1) + (1 + 0) + 0

X = 1+1+1+0

Ley de idempotencia:   A + A = A

X = 1

·      2. Para las siguientes expresiones halle la respuesta.

             Y = A · (B + C) = A · B + A · C

Se reemplazan los valores conocidos y se halla en valor de X

Y = 1 · (0 + 0) + 1 · 0 + 1 · 0

Y = 1 · 0 + 0 + 0

Y = 0

3: Demuestra que esta expresión es correcta: 

Primero se observa si existen factores comunes

A+A'B = A+B

Al operarlos, se suma AB a cada lado de la expresión 

A+A'B+ (AB) = A+B + (AB) 

Se realizan las operaciones adecuadas y obtenemos 

 

A+(A'+ A)B = A+(1+A)B 

utilizando las leyes de boole obtenemos 

 

A+(1)B = A+(1)B

Dándonos como resultado: 

A+B = A+B 

 

Ejercicio:

Obtenga la respuesta para las siguientes expresiones

A= 1, B=0, C=0, D=1, Y=1, Z=1, X=0

·         P = A · B · C+D

·         M = X · Y + A · D

·         F = A · B · C

 

Teorema de Morgan

Definición: Surgen de las leyes Booleanas, nos permiten hacer operaciones entre variables que representan valores binarios, nos permiten reordenar o simplificar expresiones booleanas.

Características:

·         Tienen mayor uso en los sistemas digitales.

·         Permiten la reducción de circuitos complejos.

·         Es un concepto general de la dualidad matemática

 

Teoremas:

1 NOR términos en un producto negado será iguales a termos en suma negados:

(ABC)’=A’+B’+C’

2 NAND términos en una suma negada será igual a términos negados en productos.

(X+Y)’=X’Y’

Ejemplo:

1. Para las siguientes expresiones halle la respuesta.

(A · B · C · D)’ = A’ + B’+ C’ + D’ si A= 1, B=0, C=1, D=0

Reemplazando por los valores conocidos, decimos

(1 · 0 · 1 · 0)’ = 0 + 1+ 0 + 1

(0)’ = 1

1 = 1

2. Para las siguientes expresiones halle la respuesta.

(X+Y)’ = X’ · Y’ si X = 1, Y = 1

Remplazamos por los datos conocidos y obtenemos

(1+1)’ = 1’ · 1’

(1)’ = 0 · 0

0 = 0

 

Ejercicio:

Obtenga la respuesta para las siguientes expresiones

(A· B)’· (C· D)’ = (A’+B’) · (C’+D’)

(A’+B’’) ·C = (A’+B) ·C

 (A+A).C=C+A.(A+A')

Evaluación didáctica: https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/ley-de-boole-y-teorema-de-morgan

 Canal youtube : https://www.youtube.com/channel/UCcOdh_zYmjGx--ad70PBO1w

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https://docs.google.com/forms/d/1HMFD9MwuZQDdFO7H-GbbDGGg4x1CmM0-LpjLnsr4N9c/prefill

Bibliografía: La información anterior fue extraída de.

 

Libro Sistemas digitales – Autor José Luis Ramos Gonzales – Editorial RED TERCER MILENIO.

Libro Sistemas y Circuitos Digitales “Apuntes de clase”– Autor Universidad Pontificia de Salamanca en Madrid. 

Syillabus de circuitos digitales: http://ingelectronica.udistrital.edu.co:8080/contenidos-programaticos/-/document_library_display/KfI4/view/7436831

Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid